Question

已知首項(xiàng)為

3

2

，公比不等于1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=n|a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n+b_n＜6．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列得到2S₃=-2S₂+4S₄，轉(zhuǎn)化為a₃，a₄的關(guān)系即可求得公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求．或是把2S₃=-2S₂+4S₄代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求公比，然后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=n|a_n|，化簡(jiǎn)后由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，即可證得T_n+b_n＜6．

解答： （1）解：由題意得2S₃=-2S₂+4S₄，
即（S₄-S₂）+（S₄-S₃）=0，
即（a₄+a₃）+a₄=0．
∴

a4

a3

=-

1

2

．
∴公比q=-

1

2

．
則an=

3

2

×(-

1

2

)n-1．
另解：由題意得2S₃=-2S₂+4S₄，q≠1，
∴

a1(1-q3)

1-q

=-

a1(1-q2)

1-q

+

2a1(1-q4)

1-q

．
化簡(jiǎn)得2q²-q-1=0，解得q=-

1

2

，
∴an=

3

2

×(-

1

2

)n-1；
（2）證明：bn=n|an|=n•

3

2

•(

1

2

)n-1=

3n

2n

，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

3

21

+

6

22

+

9

23

+…+

3n

2n

，①

1

2

Tn=

3

22

+

6

23

+…+

3(n-1)

2n

+

3n

2n+1

，②
①-②得，

1

2

Tn=

3

21

+

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

-

3n

2n+1

=3×

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

3n

2n+1

=3-

3n+6

2n+1

，
∴Tn=6-

3n+6

2n

．
∴Tn+bn=6-

6

2n

＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．