Question

己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，且a_na_n+1²-2（a_n²-1）a_n+1-a_n=0，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=a_n-

1

an

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，T_n=

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

，求S_n+T_n，并確定最小正整數(shù)n，使S_n+T_n為整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意知，b_n+1=a_n+1-

1

an+1

=

an+12-1

an+1

=

2(an2-1)

an

=2(an-

1

an

)=2b_n，由此求出bn=

2n+2

3

．
（2）由（1）有Sn+Tn=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n=

64

27

(4n-1)+2n，n∈N^*，為使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)2+2n，n∈N^*，當(dāng)且僅當(dāng)

4n-1

27

為整數(shù)．由此能求出n的最小值為9．

解答： 解：（1）由題意知，
b_n+1=a_n+1-

1

an+1

=

an+12-1

an+1

=

2(an2-1)

an

=2(an-

1

an

)=2b_n，
b1=a1-

1

a1

=

8

3

，
∴數(shù)列{b_n}是公比為2，首項(xiàng)為

8

3

的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn=

2n+2

3

．
（2）由（1）有Sn+Tn=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n
=（

23

3

）²+（

24

3

）²+…（

2n+2

3

）²+2n
=

64

27

(4n-1)+2n，n∈N^*，
為使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)2+2n，n∈N^*，當(dāng)且僅當(dāng)

4n-1

27

為整數(shù)．
當(dāng)n=1，2時(shí)，S_n+T_n不為整數(shù)，
當(dāng)n≥3時(shí)，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=

C

1 n

×3+

C

2 n

×32+33(

C

3 n

+…+3n-3

C

n n

)，
∴只需

3 C 1 n +32 C 2 n

27

=

n

9

•

3n-1

2

為整數(shù)，
∵3n-1與3互質(zhì)，∴為9的整數(shù)倍，
當(dāng)n=9時(shí)，

n

9

•

3n-1

2

=13為整數(shù)，
故n的最小值為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)式定理的合理運(yùn)用．