Question

（2013•浙江模擬）已知雙曲線(xiàn)x²-

y2

2

=1，點(diǎn)A（-1，0），在雙曲線(xiàn)上任取兩點(diǎn)P，Q滿(mǎn)足AP⊥AQ，則直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)（　�。�

A．（3，0）

B．（1，0）

C．（-3，0）

D．（4，0）

Answer 1

分析：可設(shè)PQ的方程為x=my+b，與雙曲線(xiàn)方程x²-

y2

2

=1聯(lián)立，結(jié)合A（-1，0），AP⊥AQ可求得b的值，從而可知直線(xiàn)PQ過(guò)的定點(diǎn)，于是可得答案．

解答：解：設(shè)PQ的方程為x=my+b，則由

x2- y2 2 =1 x=my+b

得：（m²-

1

2

）y²+2bmy+b²-1=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁，y₂是該方程的兩根，
∴y₁+y₂=

2bm

1 2 -m2

，y₁•y₂=

b2-1

m2- 1 2

．
又A（-1，0），AP⊥AQ，
∴

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，
∴y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，又x₁=my₁+b，x₂=my₂+m，
∴（1+m²）y₁y₂+（b+1）m（y₁+y₂）+（b+1）²=0①，將y₁+y₂=

2bm

1 2 -m2

，y₁•y₂=

b2-1

m2- 1 2

代入①得：

b2-1

m2- 1 2

（1+m²）-

2bm2(b+1)

m2- 1 2

+（b+1）²=0，
整理得：（b²-1）（1+m²）-2bm²（b+1）+（m²-

1

2

）（b+1）²=0，
∴b²-2b-3=0，
∴b=3或b=-1．
當(dāng)b=-1時(shí)，PQ過(guò)（-1，0），即A點(diǎn)，與題意不符，故舍去．
當(dāng)b=3時(shí)，PQ過(guò)定點(diǎn)（3，0）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交問(wèn)題，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查綜合分析與解決問(wèn)題的能力，屬于難題．