Question

已知a＞0，x，y滿(mǎn)足 

x≥1 x+y≤3 y≥a(x-3)

若z=2x+y的最小值為1，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意得a＞0，作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=1且y=-2a時(shí)z取得最小值，由此建立關(guān)于a的等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：由題意可得：若可行域不是空集，則直線(xiàn)y=a（x-3）的斜率為正數(shù)時(shí)．
因此a＞0，作出不等式組

x≥1 x+y≤3 y≥a(x-3)

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，2），B（1，-2a），C（3，0）
設(shè)z=F（x，y）=2x+y，將直線(xiàn)l：z=2x+y進(jìn)行平移，
觀察x軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值
∴z_最小值=F（1，-2a）=1，即2-2a=1，解得a=

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，在已知目標(biāo)函數(shù)的最小值情況下求參數(shù)a的值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．