Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線(xiàn)方程；
（2）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，試求a的范圍；
（3）若函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線(xiàn)y=x+1的下方，試求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，切線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可；
（2）即導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，畫(huà)出曲線(xiàn)y=e^x和直線(xiàn)y=2ax，即要求曲線(xiàn)恒在直線(xiàn)的上方，求出相切的情況，通過(guò)直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)即可；
（3）由題意可知，f（x）≥x+1恒成立，記F（x）=e^x-ax²-x-1，即F（x）≥0恒成立，討論a＞0不成立，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出F（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-ax²．則導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線(xiàn)方程是y=x+1；
（2）函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)即
導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
畫(huà)出曲線(xiàn)y=e^x和直線(xiàn)y=2ax，即要求曲線(xiàn)恒在直線(xiàn)的上方．
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)的切點(diǎn)為（m，n），則n=2am，n=e^m，e^m=2a，
解得m=1，n=e，a=

e

2

，
由圖象觀(guān)察得a的范圍是[0，

e

2

]；
（3）由題意可知，f（x）≥x+1恒成立，記F（x）=e^x-ax²-x-1，
即F（x）≥0恒成立，
若a＞0，則x＜-

1

a

＜0，F(xiàn)（x）＜1-x（ax+1）-1＜0，與F（x）≥0矛盾，
∴a≤0，F(xiàn)′（x）=e^x-2ax-1，
則x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞e⁰-1=0，x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜e⁰-1=0，
∴x=0為F（x）的最小值點(diǎn)，即最小值為0，即F（x）≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線(xiàn)y=x+1的下方，a的最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線(xiàn)方程、求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，屬于中檔題．