Question

3．已知函數(shù)f（x）=log₂（ax²+4x+5）．
（1）若f（1）＜3，求a的取值范圍；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）的值域．
（3）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）計算f（1），得到關(guān)于a的不等式，解出即可；
（2）令t=x²+4x+5，則t=（x+2）²+1≥1，問題轉(zhuǎn)化為log₂t≥log₂1=0，求出函數(shù)的值域即可；
（3）通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為f（1）=log₂（a+9），
所以log₂（a+9）＜3=log₂8，
所以0＜a+9＜8，
所以-9＜a＜-1．
即a的取值范圍為（-9，-1）．----------（4分）
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=log₂（x²+4x+5），
令t=x²+4x+5，則t=（x+2）²+1≥1，
f（x）=log₂t在[1，+∞）上遞增，
所以log₂t≥log₂1=0，
所以函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）----------（8分）
（3）當(dāng)a=0時，y=f（x）=log₂（4x+5），
顯然值域為R----------（10分），
a＜0時，△≥0即可，
16-20a≥0，解得：0＜a≤$\frac{4}{5}$，
綜上，a的范圍是[0，$\frac{4}{5}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．