Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當x∈（-2，6）時，其值為正，而當x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時，其值為負．
（1）求實數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）的表達式；
（2）設(shè)F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1），問k取何值時，函數(shù)F（x）的值恒為負值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：-2和6為方程f（x）=0的兩根，則把兩根代入到方程中求出a，b并得到函數(shù)解析式即可；
（2）把f（x）代入到F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1）中得到F（x）=-（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．然后分析k=0，k＜0，k＞0三種種情況討論F（x），因為F（x）要恒為負數(shù)，所以得到k＜0且△＜0組成不等式組，求出解集即可．
解答：解（1）由題意可知-2和6是方程f（x）=0的兩根，
∴，∴，∴f（x）=-4x²+16x+48．
（2）F（x）=-（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．
當k=0時，F(xiàn)（x）=4x-2不恒為負值；當k≠0時，若F（x）的值恒為負值，
則有，解得k＜-2．
∴k的取值為k＜-2．
點評：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運用的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．