已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減求得f(x)max=f(x2
(2)由g(x)=[f(x)-lnx]•x2=ax-x3不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2),其中x1<x2
則由斜率公式得k=
y1-y2
x1-x2
=
a(x1-x2)+(
x
3
2
-
x
3
1
)
x1-x2
=a-(
x
2
1
+x1x2+
x
2
2
)
由k≤1知:建立a<1+(x12+x1x2+x22)恒成立,從而求解.
解答:解:(1)當(dāng)-2≤a<
1
4
時,由f'(x)=0得x1=
1-
1-4a
2
,x2=
1+
1-4a
2
.(2分)
顯然-1≤x1
1
2
,
1
2
<x2≤2,∴x1∉[
1
2
,2],x2∈[
1
2
,2]

又f'(x)=-
(x-x1)(x-x2)
x2

當(dāng)
1
2
≤x≤x2時,f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x2<x≤2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,(5分)
∴f(x)max=f(x2)=
2a
1+
1-4a
-
1+
1-4a
2
+ln
1+
1-4a
2

=-
1-4a
+ln
1+
1-4a
2
.(6分)
(2)存在a∈(-∞,
7
4
]
符合條件
因為g(x)=[f(x)-lnx]•x2=ax-x3
不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2),其中x1<x2
k=
y1-y2
x1-x2
=
a(x1-x2)+(
x
3
2
-
x
3
1
)
x1-x2
=a-(
x
2
1
+x1x2+
x
2
2
)
(10分)
由k≤1知:a≤1+(x12+x1x2+x22
1
4
x
2
2
≤4
a≤
7
4

故存在a≤
7
4
符合條件.(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查導(dǎo)數(shù),一是用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,二是建立模型考查不等式恒成立,要注意討論.
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34
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