Question

已知{a_n}滿足a_n=2n-1（n∈N^*）試判斷是否存在正數(shù)k，使得（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）≥k

2n+1

對一切n∈N^*均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由a_n=2n-1求出a₁，結(jié)合1+

1

a1

=k

2×1+1

求出一個(gè)k值，由此猜測存在最大正數(shù)k=

2 3

3

，使得（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）≥

2 3

3

•

2n+1

對一切n∈N^*均成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：由a_n=2n-1，得a₁=1，此時(shí)1+

1

a1

=2，

2n+1

=

3

，
由

3

k=2，解得k=

2 3

3

，由此猜測存在最大正數(shù)k=

2 3

3

，使得（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）≥

2 3

3

•

2n+1

對一切n∈N^*均成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1=2，右邊=

2 3

3

×

3

=2，命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（n∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，即：（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

ak

）≥

2 3

3

2k+1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

ak

）（1+

1

ak+1

）≥

2 3

3

2k+1

•（1+

1

2k+1

），
而

2 3

3

2k+1

•（1+

1

2k+1

）=

2 3

3

•

2k+1

•

2(k+1)

2k+1

=

2 3

3

•

2(k+1)

2k+1

，
∵2k+2＞

2k+1

•

2k+3

，
∴

2 3

3

•

2(k+1)

2k+1

＞

2 3

3

•

2k+3

=

2 3

3

2(k+1)+1

，即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
由（1）、（2）可得：命題對于一切n∈N^*恒成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列中不等式的證明問題，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的思想和方法，要注意該方法在證明不等式中的格式，利用歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)要注意目標(biāo)意識，適當(dāng)進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化，是中高檔題．