Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，2^n-1a_n=a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）此數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始，這一項(xiàng)及以后各項(xiàng)均小于

1

1000

？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）直接由an=

1

2n-1

＜

1

1000

＜

1

29

求得n的取值范圍．

解答： 解：（1）由2^n-1a_n=a_n-1，得

an

an-1

=

1

2n-1

(n≥2)，
又a₁=1，∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴an=

1

2n-1

，
當(dāng)n=1時(shí)上式成立，
∴an=

1

2n-1

；
（2）由an=

1

2n-1

＜

1

1000

＜

1

29

，得n-1＞9，∴n＞10．
∴此數(shù)列從第11項(xiàng)開(kāi)始，這一項(xiàng)及以后各項(xiàng)均小于

1

1000

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．