Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）的最小值和最大值，及取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合．
（Ⅲ） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-2cos²x+1
=sin2x-cos2x-1+1
=sin（2x-）
∴T==π；
（Ⅱ）最小值為-，
當(dāng)2x-=2kπ-，即x=kπ-（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值-；
∴此時(shí)x的取值集合為：{x|x=kπ-，k∈Z}；
最大值為，
當(dāng)2x-=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值；
∴此時(shí)x的取值集合為：{x|x=kπ+，k∈Z}；
（Ⅲ）由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z
得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z
同理可求，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z．
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)間的關(guān)系式可將f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=sin（2x-），可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）的最小值和最大值，由2x-=2kπ-可求得f（x）取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合，同理可求f（x）取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合；
（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)間的關(guān)系式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，屬于中檔題．