Question

給出以下四個命題：
①{a_n}成等差數(shù)列，且m，n，p，r∈N^*，則“m+n=p+r”是“a_m+a_n=a_p+a_q”的充要條件；
②“{lga_n}成等差數(shù)列”是“{a_n}成等比數(shù)列”的充分不必要條件；
③a，b，c∈R，則“b=

ac

”是“a，b，c成等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件；
④若{a_n}成等比數(shù)列，則a₁+a₂+a₃+a₄•a₅+a₆+a₇+a₈•a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂也成等比數(shù)列；
其中所有真命題的番號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡易邏輯

分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)判斷①；由等差數(shù)列的定義結合對數(shù)的運算性質(zhì)判斷②；舉例說明③正確；由等比數(shù)列的定義得到④正確．

解答： 解：①{a_n}成等差數(shù)列，得a_m+a_n=2a₁+（m+n-2）d，
a_p+a_q=2a₁+（p+q-2）d，由m+n=p+r且m，n，p，r∈N^*，得a_m+a_n=a_p+a_q，
由a_m+a_n=a_p+a_q，得2a₁+（m+n-2）d=2a₁+（p+q-2）d，
∴m+n=p+r．
∴“m+n=p+r”是“a_m+a_n=a_p+a_q”的充要條件，命題①正確；
②由{lga_n}成等差數(shù)列，得lgan+1-lgan=lg

an+1

an

=d，

an+1

an

=10d為常數(shù)，數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列．
由{a_n}成等比數(shù)列，如-1，2，-4，…，不一定有{lga_n}成等差數(shù)列，
∴“{lga_n}成等差數(shù)列”是“{a_n}成等比數(shù)列”的充分不必要條件，命題②正確；
③a，b，c∈R，則“b=

ac

”是“a，b，c成等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件，命題正確．
如：0=

0×1

，但0，0，1不是等比數(shù)列.1，-2，4成等比數(shù)列，但-2≠

1×4

；
④若{a_n}成等比數(shù)列，設公比為q，則a₁+a₂+a₃+a₄，a₅+a₆+a₇+a₈，a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂也成等比數(shù)列，公比是q⁴，命題④正確．
∴正確的命題是①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．