Question

如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB=AD，記∠CAD=α，∠ACB=β．
（Ⅰ）證明：sinα=cos2β；
（Ⅱ）若AC=

3

DC，求β的值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)的化簡求值

專題：計算題,解三角形

分析：（Ⅰ）設(shè)∠ABC=γ，由等腰三角形及外角性質(zhì)得α+2β=

π

2

，兩邊取正弦可得結(jié)論；
（Ⅱ）由正弦定理得

DC

sinα

=

AC

sin(α+β)

及AC=

3

DC可得cosβ=

3

sinα，由（Ⅰ）得sinα=cos2β，聯(lián)立可得cosβ，于是得β，α；

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)∠ABC=γ，由三角形ABC為直角三角形可得β+γ=

π

2

，
又∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB，
∴γ=α+β，代入β+γ=

π

2

，得α+2β=

π

2

，
∴α=

π

2

-2β，
∴sinα=cos2β．
（Ⅱ）解：在△ADC中，由正弦定理得

DC

sinα

=

AC

sin(α+β)

，
代入AC=

3

DC，得sin（α+β）=

3

sinα，
又α+2β=

π

2

，∴可得α+β=

π

2

-β，
∴sin（α+β）=sin（

π

2

-β）=cosβ=

3

sinα．
由（Ⅰ）得sinα=cos2β，
∴cosβ=

3

cos2β=

3

(2cos2β-1)，解得cosβ=

3

2

或-

3

3

（舍去），
∴β=

π

6

，α=β=

π

6

．

點評：該題考查三角函數(shù)式的化簡求值、正弦定理及其應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力．