Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b，不等式xf（x）＜0的解集為（1，3）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（2^x）-k•2^-x-k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）由于不等式xf（x）＜0的解集為（1，3），即x²+bx+a＜0的解集為（1，3），利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（II）由（I）方程f（2^x）-k•2^-x-k=0可化為2^2x-（k+4）•2^x+3-k=0，令2^x=t，則t＞0．即t²-（k+4）t+3-k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，因此△=（k+4）²-4（3-k）＞0，且k+4＞0，3-k＞0，解得即可．

解答： 解：（I）∵不等式xf（x）＜0的解集為（1，3），即x²+bx+a＜0的解集為（1，3），
∴

1+3=-b 1×3=a

，
解得a=3，b=-4．
（II）由（I）可得：f(x)=x+

3

x

-4，
方程f（2^x）-k•2^-x-k=0可化為2^2x-（k+4）•2^x+3-k=0，
令2^x=t，則t＞0．
∴t²-（k+4）t+3-k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（k+4）²-4（3-k）＞0，且k+4＞0，3-k＞0，
解得-6+4

2

＜k＜3．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-6+4

2

，3)．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了換元法，屬于難題．