Question

假設(shè)位于正四面體ABCD頂點(diǎn)處的一只小蟲，沿著正四面體的棱隨機(jī)地在頂點(diǎn)間爬行，記小蟲沿棱從一個(gè)頂點(diǎn)爬到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一點(diǎn)，每二次爬行又由其所在頂點(diǎn)等可能地爬向其它三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)，如此一直爬下去，記第n（n∈N^*）次爬行小蟲位于頂點(diǎn)A處的概率為p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并寫出p_n的表達(dá)式（不要求證明）；
（2）設(shè)Sn=p1

C

1 n

+p2

C

2 n

+p3

C

3 n

+…+pn

C

n n

(n∈N*)，試求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小蟲沿棱從一個(gè)頂點(diǎn)爬到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一點(diǎn)，每二次爬行又由其所在頂點(diǎn)等可能地爬向其它三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)，可求出p₁，p₂，p₃的值，從而可猜想出p_n的表達(dá)式；
（2）根據(jù)p_n的表達(dá)式，利用分組求和法以及二項(xiàng)式定理的逆用、二項(xiàng)式系數(shù)的和從而可求出所求．

解答：解：（1）p₁=0，p₂=

1

3

，p₃=

1

3

（1-p₂）=

2

9

，p₄=

1

3

（1-p₃）=

7

27

猜想：p_n=

1

4

[1-（-

1

3

）^n-1]
（2）Sn=p1

C

1 n

+p2

C

2 n

+p3

C

3 n

+…+pn

C

n n

(n∈N*)
=

1

4

（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）+

3

4

[

C

1 n

（-

1

3

）¹+

C

2 n

（-

1

3

）²+…

C

n n

（-

1

3

）ⁿ]
=

1

4

（

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）+

3

4

[

C

0 n

（-

1

3

）⁰+

C

1 n

（-

1

3

）¹+

C

2 n

（-

1

3

）²+…

C

n n

（-

1

3

）ⁿ]
=

1

4

•2ⁿ+

3

4

（1-

1

3

）ⁿ-1
=2^n-2+

1

2

（

2

3

）^n-1-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)，以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．