Question

假設(shè)位于正四面體ABCD頂點(diǎn)處的一只小蟲，沿著正四面體的棱隨機(jī)地在頂點(diǎn)間爬行，記小蟲沿棱從一個頂點(diǎn)爬到另一個頂點(diǎn)為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一點(diǎn)，每二次爬行又由其所在頂點(diǎn)等可能地爬向其它三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)，如此一直爬下去，記第n（n∈N^*）次爬行小蟲位于頂點(diǎn)A處的概率為p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并寫出p_n的表達(dá)式（不要求證明）；
（2）設(shè)，試求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)小蟲沿棱從一個頂點(diǎn)爬到另一個頂點(diǎn)為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一點(diǎn)，每二次爬行又由其所在頂點(diǎn)等可能地爬向其它三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)，可求出p₁，p₂，p₃的值，從而可猜想出p_n的表達(dá)式；
（2）根據(jù)p_n的表達(dá)式，利用分組求和法以及二項(xiàng)式定理的逆用、二項(xiàng)式系數(shù)的和從而可求出所求．
解答：解：（1）p₁=0，p₂=，p₃=（1-p₂）=，p₄=（1-p₃）=
猜想：p_n=[1-（-）^n-1]
（2）
=（++…+）+[（-）¹+（-）²+…（-）ⁿ]
=（+++…+）+[（-）+（-）¹+（-）²+…（-）ⁿ]
=•2ⁿ+（1-）ⁿ-1
=2^n-2+（）^n-1-1
點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)，以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．