已知函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證：數(shù)學(xué)公式．

解：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
而 ，
∵a＞0，x＞-1，∴當(dāng) 時，f'（x）＜0，
當(dāng) 時，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
為 ，a＞0．
要證明 ，
只須證明 成立．
設(shè) ，x∈（0，+∞）．
則 ，
∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ．
取 得到 成立．
設(shè)ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．
取 得到 成立．因此，．
分析：（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案；
（2）由（1）可知，f（x）的最小值為 ，a＞0，構(gòu)造函數(shù)設(shè) ，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以此為主線，貫穿其中．但對以上第二個問題的解答，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，這是函數(shù)這一章節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，屬難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案