Question

已知a∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=3x-alnx+1
（1）若a=3e（e為自然常數(shù)），求函數(shù)f（x）在[0，2e]上的最小值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）若a=3e，則f（x）=3x-3elnx+1f′(x)=3-

3e

x

=

3(x-e)

x

，從而f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，2e]上單調(diào)遞增．故 當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值是f（e）=1；
（2）由f′(x)=3-

a

x

=

3x-a

x

，討論當(dāng)a≤0，a＞0時(shí)的情況，從而得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）若a=3e，則f（x）=3x-3elnx+1
f′(x)=3-

3e

x

=

3(x-e)

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞e，
令f′（x）＜0，解得：x＜e，
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，2e]上單調(diào)遞增．
故 當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值是f（e）=1
（2）由題意可知，函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）
又f′(x)=3-

a

x

=

3x-a

x

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，
令f′(x)=

3x-a

x

＞0解得，x＞

a

3

，此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的
令f′(x)=

3x-a

x

＜0解得，0＜x＜

a

3

，此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減的
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(

a

3

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

a

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想．