Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由BD⊥AC，PA⊥BD，利用線面垂直的判定即可證明；（Ⅱ）作BE⊥PC，連接OE，證明∠BE0即二面角B-PC-A的平面角，后在相應(yīng)的直角三角形中計(jì)算．

解答： （Ⅰ）證明：∵底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：AC⊥BD=O，作BE⊥PC，連接OE，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴BD⊥PC，BE∩BD=B，∴PC⊥面BDE，∴OE⊥PC，∴∠BE0即二面角B-PC-A的平面角．∵底面ABCD為正方形，AD=2，∴AC=2

2

，在Rt△PAC中，PA=1，AC=2

2

，PC=3，sin∠PCA=

1

3

，在Rt△OEC中，OC=

2

，sin∠PCA=

OE

OC

，∴OE=

2

3

，在Rt△BOE中，OE=

2

3

，BO=

2

，BE=

20

3

∴cos∠BE0=

OE

BE

=

10

10

，∴二面角B-PC-A的余弦值為

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．