Question

已知定義在R上的單調遞增函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．
（Ⅰ）判斷函數y=f（x）的奇偶性并證明之；
（Ⅱ）解關于x的不等式：f（x²）+f（-6x+4）＜-1．
（Ⅲ）設集合A={（x，y）|f（x²+b+1）-f（ax+y）=1}，a，b∈RB={（x，y）|x+y=0}，若集合A∩B有且僅有一個元素，求證：b=

(a-1)2

4

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用賦值法：取x=y=0 則可求f（0），令y=-x，代入已知可得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，可判斷，
（Ⅱ）先判斷函數的單調性，然后由f（x）是R上的單調性及不等式f（x²）+f（-6x+4）＜-1．可得關于x的不等式，
（Ⅲ）化簡A={（x，y）|y=x²-ax+b}，集合A∩B有且僅有一個元素，得到方程組 

y=x2-ax+b y=-x

有唯一解，消掉y，根據判別式計算即可．

解答： 解：（Ⅰ） 令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，
f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=f（x），
函數為R上的奇函數．                 
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（-1）=-f（1）=-1，
f（x²）+f（-6x+4）=f（x²-6x+4）
又函數f（x）是單調遞增函數，
∴f（x²-6x+4）＜-1=f（-1），
故x²-6x+4＜-1，
∴1＜x＜5．
（Ⅲ）A={（x，y）|f（x²+b+1）-f（ax+y）=1}={（x，y）|x²+b+1-ax-y=1}={（x，y）|y=x²-ax+b}，
B={（x，y）|x+y=0}，A∩B有且僅有一個元素，
即方程組 

y=x2-ax+b y=-x

有唯一解，
即x²+（1-a）x+b=0僅有一個實根，
△=（1-a）²-4b=0，
即b=

(a-1)2

4

．  
故問題得證．

點評：本題主要考查了利用賦值法求解函數的函數值，判斷函數的奇偶性、單調性及利用單調性求解不等式等函數知識的綜合應用