Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-3x+4+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ） 當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）在[

1

2

，3]上的最大值；
（Ⅱ） 若f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f(x)=

1

2

x2-3x+4+2lnx，
f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

，
即f（x）在區(qū)間[

1

2

，1)和（2，3]上單調(diào)遞增；在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減．
∴f(1)=

3

2

，f(3)=2ln3-

1

2

，
所以函數(shù)f（x）在[

1

2

，3]上的最大值為f(3)=2ln3-

1

2

．
（Ⅱ）f′(x)=2ax-3+

2

x

=

2ax2-3x+2

x

，
因?yàn)閒（x）在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f'（x）≥0恒成立，
得2ax²-3x+2≥0恒成立，
因?yàn)閍＞0，x=

3

4a

＞0，
所以△=9-16a≤0，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

9

16

，+∞)．