Question

4．如圖，已知圓F₁的半徑為4，|F₁F₂|=2，P是圓F₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₂P的中垂線(xiàn)l交F₁P于點(diǎn)Q，以直線(xiàn)F₁F₂為x軸，F(xiàn)₁F₂的中垂線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂的動(dòng)直線(xiàn)m與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)R，使得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$是定值？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明埋由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：丨QF₂丨+丨QF₁丨=4＞|F₁F₂|=2，Q的軌跡E為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，由橢圓的性質(zhì)即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)m的方程x=my+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$=$\frac{3{m}^{2}（{t}^{2}-4）+4{t}^{2}-8t-5}{3{m}^{2}+4}$，使得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$是定值，則$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4=λ}\\{4{t}^{2}-8t-5=4λ}\end{array}\right.$，即可求得m和λ的值．

解答 解：（1）由題意可知：丨PQ丨+丨QF₁丨=丨PF₁丨=r=4，
由F₂P的中垂線(xiàn)l交F₁P于點(diǎn)Q，則丨QF₂丨=丨PQ丨，
∴丨QF₂丨+丨QF₁丨=4＞|F₁F₂|=2，
則點(diǎn)Q的軌跡E為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
即2a=4，2c=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)x軸上存在一點(diǎn)R（t，0），使得 $\overrightarrow{RA}$•$\overrightarrow{RB}$為定值數(shù) 
①直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)m的方程為x=my+1，A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
把直線(xiàn)l的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
顯然△=36m²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
$\overrightarrow{RA}$•$\overrightarrow{RB}$=（x₁-t，y₁ ）（x₂-t，y₂）=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂，
=（1+m²）y₁y₂+m（1-t）（y₁+y₂）+t²-2t+1，
=$\frac{3{m}^{2}（{t}^{2}-4）+4{t}^{2}-8t-5}{3{m}^{2}+4}$，
若存在R（t，0），使$\frac{3{m}^{2}（{t}^{2}-4）+4{t}^{2}-8t-5}{3{m}^{2}+4}$=λ成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4=λ}\\{4{t}^{2}-8t-5=4λ}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{11}{8}}\\{λ=-\frac{135}{64}}\end{array}\right.$，
故存在R（$\frac{11}{8}$，0），使得使得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$是定值-$\frac{135}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．