Question

9．函數f（x）=x²-2ax-2alnx（a∈R），則下列說法不正確的命題個數是（　�。�
①當a＜0時，函數y=f（x）有零點；
②若函數y=f（x）有零點，則a＜0；
③存在a＞0，函數y=f（x）有唯一的零點；
④若a≤1，則函數y=f（x）有唯一的零點．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 先將函數進行參變量分離，得到2a=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，轉化成y=2a與y=g（x）的圖象的交點個數，利用導數得到函數的單調性，結合函數的圖象可得結論．

解答 解：令f（x）=x²-2ax-2alnx=0，則2a（x+lnx）=x²，
∴2a=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，
則g′（x）=$\frac{2x（x+lnx）-{x}^{2}（1+\frac{1}{x}）}{（{x+lnx）}^{2}}$=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）^{2}}$
令h（x）=x+lnx，通過作出兩個函數y=lnx及y=-x的圖象（如右圖）
發(fā)現h（x）有唯一零點在（0，1）上，
設這個零點為x₀，當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₀）上單調遞減，x=x₀是漸近線，
當x∈（x₀，1）時，g′（x）＜0，則g（x）在（x₀，1）上單調遞減，
當x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調遞增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$的大致圖象，
結合圖象可知，當a＜0時，y=2a與y=g（x）的圖象只有一個交點，
則函數y=f（x）只有一個零點，故①正確；
若函數y=f（x）有零點，則a＜0或a≥$\frac{1}{2}$，故②不正確；
存在a=$\frac{1}{2}$＞0，函數y=f（x）有唯一零點，故③正確；
若函數y=f（x）有唯一零點，則a＜0，或a=$\frac{1}{2}$，則a≤1，故④正確．
故選：B．

點評 本題考查了函數的零點與方程根的關系．函數的零點等價于對應方程的根，等價于函數的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據題意合理的選擇轉化．常運用數形結合的數學思想方法．屬于中檔題．