Question

已知線性約束條件

x-y+1≤0 x≥1 ax+y≤2(a∈R)

構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域D，且線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y在D內(nèi)取得最大值13，則實(shí)數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：約束條件中不等式ax+y≤2對(duì)應(yīng)的直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，2），結(jié)合前兩個(gè)不等式可知a＜0，作出三角形區(qū)域D的大致形狀，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線y=-

2

3

x+

z

3

過(guò)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)B時(shí)直線在y軸上的截距最大，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，由最大值為13列式求得a的值．

解答： 解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立

x-y+1=0 ax+y=2

，解得：

x= 1 a+1 y= a+2 a+1

．
∴B（

1

a+1

，

a+2

a+1

）．
由z=2x+3y，得y=-

2

3

x+

z

3

．
由圖可知，當(dāng)直線y=-

2

3

x+

z

3

過(guò)點(diǎn)B時(shí)直線在y軸上的截距最大．
則z=

2

a+1

+

3a+6

a+1

=

3a+8

a+1

=13，解得：a=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．