Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有且僅有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在這樣的常數(shù)，使得直線y=1與y=f（x）相切，如果存在，求出a，否則請說明理由．

Answer 1

解：（1）由f（x）=2x³+3（1-2a）x+6a（a-1）x求導(dǎo)數(shù)得到f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1）
=6（x-a）（x-a+1）
∴y=f（x）在（-∞，a-1]上為增函數(shù)；
在[a-1，a]上為減函數(shù)；在[a，+∞）上為增函數(shù)．…
（2）由f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]
對于關(guān)于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0無實根或僅有零根，僅有零根不可能則判別式△=[3（1-2a）]²-4•2•6a（a-1）
=3（-2a+3）（2a+1）＜0
∴
故所求a的范圍為…
（3）設(shè)y=1與y=f（x）相切于點（x₀，y₀）
在x₀=a時，則2a³+3（1-2a）a²+6a²（a-1）=1
∴．
∴2a³-3a²=1不可能成立．
在x₀=a-1時，則2（a-1）³+3（1-2a）（a-1）²+6a（a-1）²=1
．
因此所求符合條件的a值分別為．…
分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)可得f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1），分別令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間；
（2）由于f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]，所以關(guān)于x的方程f（x）=0有且僅有一個實數(shù)根等價于，對于關(guān)于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0無實根或僅有零根，因為方程沒有零根，所以二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0無實根，所以判別式＜0，故可求a的范圍；
（3）假設(shè)y=1與y=f（x）相切于點（x₀，y₀），則函數(shù)在極值點處與y=1相切，從而分類討論：x₀=a及x₀=a-1，由此可得方程，故可求符合條件的a值．
點評：本題的考點是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程根的判斷，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間關(guān)鍵是先求函數(shù)的定義域，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號進(jìn)行求解，此類問題容易忽略對定義域的判斷．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出切點坐標(biāo)是解決該問題的關(guān)鍵