【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sin2x+1﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[ , ]時(shí),若f(x)≥log2t恒成立,求t的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=sin2x﹣ cos2x+1=2sin(2x﹣ )+1,
∵ω=2,
∴函數(shù)f(x)最小正周期是T=π;
當(dāng)2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2π+ ,k∈Z,
即kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z
(2)解:∵x∈[ , ],
∴2x﹣ ∈[0, ],
∴f(x)=2sin(2x﹣ )+1的最小值為1,
由f(x)≥log2t恒成立,得log2t≤1=log22恒成立,
∴0<t≤2,
即t的取值范圍為(0,2]
【解析】(1)函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)f(x)的最小正周期,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由x的范圍求出這個(gè)角的范圍,利用正弦函數(shù)的值域確定出f(x)的最小值,根據(jù)f(x)≥log2t恒成立,得到log2t小于等于f(x)的最小值,即可確定出t的范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí),掌握兩角和與差的正弦公式:,以及對(duì)正弦函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)橢圓C:+=1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:為定值b2﹣a2.
(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:=1(a>0,b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,則為定值.請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值(不要求給出解題過(guò)程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),武漢市出現(xiàn)了非常嚴(yán)重的霧霾天氣,而燃放煙花爆竹會(huì)加重霧霾,是否應(yīng)該全面禁放煙花爆竹已成為人們議論的一個(gè)話題.武漢市環(huán)保部門(mén)就是否贊成禁放煙花爆竹,對(duì)400位老年人和中青年市民進(jìn)行了隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,結(jié)果如下表:
贊成禁放 | 不贊成禁放 | 合計(jì) | |
老年人 | 60 | 140 | 200 |
中青年人 | 80 | 120 | 200 |
合計(jì) | 140 | 260 | 400 |
附:K2=
P(k2>k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(1)有多大的把握認(rèn)為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)從上述不贊成禁放煙花爆竹的市民中按年齡結(jié)構(gòu)分層抽樣出13人,再?gòu)倪@13人中隨機(jī)的挑選2人,了解他們春節(jié)期間在煙花爆竹上消費(fèi)的情況.假設(shè)一位老年人花費(fèi)500元,一位中青年人花費(fèi)1000元,用X表示它們?cè)跓熁ū裆舷M(fèi)的總費(fèi)用,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(13分)
(I)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;
(II)求證:PD⊥平面PBC;
(II)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增的函數(shù)是( )
A.y=﹣
B.y=3﹣x﹣3x
C.y=x|x|
D.y=x3﹣x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)向量 =( sinx,sinx), =(cosx,sinx),x∈(0, ).
(1)若| |=| |,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)= ,求f(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市調(diào)研考試后,某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中優(yōu)秀的人數(shù)是30人.
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 110 |
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”;
參考公式與臨界值表 .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)A,B,C,D,E五門(mén)選修課,每位同學(xué)須彼此獨(dú)立地選三門(mén)課程,其中甲同學(xué)必選A課程,不選B課程,另從其余課程中隨機(jī)任選兩門(mén)課程.乙、丙兩名同學(xué)從五門(mén)課程中隨機(jī)任選三門(mén)課程.
(1)求甲同學(xué)選中C課程且乙同學(xué)未選中C課程的概率;
(2)用X表示甲、乙、丙選中C課程的人數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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