【題目】(1)橢圓C:+=1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點,點P是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:為定值b2﹣a2.
(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:=1(a>0,b>0)與x軸交于A、B兩點,點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,則為定值.請寫出這個定值(不要求給出解題過程).
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)設點P(x0,y0),x0≠±a,依題意,得A(﹣a,0),B(a,0),從而得直線PA的方程,繼而求得點M,N的縱坐標,得到y(tǒng)MyN=,把點P(x0,y0),代入橢圓方程可求得yMyN==b2,從而得=b2﹣a2.
(2)類比(1)的結(jié)論,可得的值.
(1)證明:設點P(x0,y0),x0≠±a,
依題意,得A(﹣a,0),B(a,0),
∴直線PA的方程為y=(x+a)
令x=0,得yM=
同理得yN=
∴yMyN=,
∵點P(x0,y0)是橢圓C上一點,
∴=1,=(a2﹣),
∴yMyN==b2,
=(a,yN),=(﹣a,yM),
∴=﹣a2+yMyN=b2﹣a2
(2)﹣(a2+b2)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓 =1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,焦距為2 ,直線x=﹣a與y=b交于點D,且|BD|=3 ,過點B作直線l交直線x=﹣a于點M,交橢圓于另一點P.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex .
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的最值;
(2)當a≠0時,過原點分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1 , l2 , 已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: <a< .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫,并制作了對照表:
氣溫/℃ | 18 | 13 | 10 | -1 |
用電量/度 | 24 | 34 | 38 | 64 |
由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中,≈-2,預測當氣溫為-4℃時,用電量為多少.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為3,則判斷框中應填入的條件是( )
A.k<6?
B.k<7?
C.k<8?
D.k<9?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為3,則判斷框中應填入的條件是( )
A.k<6?
B.k<7?
C.k<8?
D.k<9?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在人群流量較大的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完成相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:
摸球方法:從袋中隨機摸出3個球,若摸得同一顏色的3個球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個球,摸球者付給攤主1元錢.
(1)摸出的3個球為白球的概率是多少?
(2)摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少?
(3)假定一天中有100人次摸獎,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sin2x+1﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當x∈[ , ]時,若f(x)≥log2t恒成立,求t的取值范圍.
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