Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x-2滿足對(duì)任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）試討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先將 f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函數(shù)f（x）的表達(dá)式表示出來(lái)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)得：-

a

4

(x1-x2)2＜0，由此式即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）a＞0，△=16+8a＞0，
當(dāng)0＜a≤6時(shí)，f（1）=a+2＞0，f（-1）≤0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有1個(gè)零點(diǎn)；a＞6時(shí)，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4+2＞0

，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有2個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．
（2）∵a＞0，
∴△=16+8a＞0，
①a＞0時(shí)，f（1）=a+2＞0，
當(dāng)0＜a≤6時(shí)，總有f（-1）≤0，
故0＜a≤6時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有1個(gè)零點(diǎn)；
②a＞6時(shí)，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4+2＞0

，
故a＞6時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有2個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，0＜a≤6時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有1個(gè)零點(diǎn)；
a＞6時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．