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已知函數f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常數），且當x=1和x=2時，函數f（x）取得極值．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若曲線y=f（x）與g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍．

解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx-1，…（2分）
依題意f'（1）=f'（2）=0，即解得…（4分）
∴…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線y=f（x）與g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有兩個不同的交點，
即在[-2，0]上有兩個不同的實數解 …（6分）
設φ（x）=，則φ′（x）=，…（8分）
由φ'（x）=0的x=4或x=-1
當x∈（-2，-1）時φ'（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上遞增；
當x∈（-1，0）時φ'（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上遞減．…（10分）
依題意有??
∴實數m的取值范圍是．…（13分）
分析：（I）實數集上的可導函數，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f′（x）=0的根建立起相關等式，運用待定系數法確定a、b的值；
（II）曲線y=f（x）與g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有兩個不同的交點，轉化成在[-2，0]上有兩個不同的實數解，設φ（x）=，然后利用導數研究函數的單調性和極值，然后依題意有解之即可求出m的范圍．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及圖形交點問題，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a|x|的圖象經過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a•2x+b•3x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數F（x）是奇函數；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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