Question

定圓O的直徑AB=2R，BC為⊙O的動弦，延長BC至D，使CD=BC，AC與OD交于P，求點P軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：先建立坐標系，設(shè)出相應(yīng)的坐標，然后用要求的點的坐標表示出已知軌跡方程的圖象上的點的坐標，再代入已知的軌跡方程，即可求出點P的橫縱坐標的方程．本題宜先借且圖象分析其幾何特征，將幾何特征進行正確轉(zhuǎn)化．

解答： 解：以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則圓O的方程為x²+y²=R²，
設(shè)動點P（x，y），由題意可知P是△ABD的重心．
由A（-R，0），B（-R，0），
令動點C（x₀，y₀），則D（2x₀-R，2y₀），
重心坐標公式：

x= -R+R+2x0-R 3 y= 2y0 3

，
即

x0= 3x+R 2 y0= 3y 2

，
代入x²+y²=R²，
整理得所求軌跡方程為（x+

R

3

）²+y²=

4

9

R2（y≠0）．

點評：考查代入法求軌跡方程，本題對識圖的能力要求較高．尤其是P點是三角形的重心這個結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，必對圖形進行細致的分析事才能發(fā)現(xiàn)．