Question

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，線(xiàn)段F₁F₂的長(zhǎng)為2

3

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₁作直線(xiàn)l與軌跡Γ交于A、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在線(xiàn)段F₁F₂的上方，線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)為m．
①求△AF₁F₂的面積的最大值；
②軌跡Γ上是否存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，線(xiàn)段F₁F₂的長(zhǎng)為2

3

，可得軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，建立平面直角坐標(biāo)系，可得動(dòng)點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；
（2）①當(dāng)A在橢圓與y軸相交的地方，△AF₁F₂的高最大，面積最大，即可求△AF₁F₂的面積的最大值；
②當(dāng)AC⊥F₁F₂時(shí)，存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)，證明AC與F₁F₂不垂直時(shí)，不存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)即可．

解答： 解：（1）因?yàn)?＞2

3

，所以軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，
以線(xiàn)段F₁F₂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F₁F₂所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
可得動(dòng)點(diǎn)A的軌跡Γ的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）①由題意，|F₁F₂|=2

3

，當(dāng)A在橢圓與y軸相交的地方，△AF₁F₂的高最大，面積最大，
∴△AF₁F₂的面積的最大值為

1

2

•2

3

•1=

3

；
②當(dāng)AC⊥F₁F₂時(shí)，存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)，
下面證明AC與F₁F₂不垂直時(shí)，不存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)．
假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)S（x₃，y₃），T（x₄，y₄），
設(shè)ST的中點(diǎn)為H（m，n），則k_OH•k_ST=-

1

4

，k_OMk_AC=-

1

4

，
∴k_OH=k_OM=-

1

4k

，
∴直線(xiàn)m過(guò)原點(diǎn)，斜率為-

1

4k

≠-

1

k

∴假設(shè)不成立，
∴AC與F₁F₂不垂直時(shí)，不存在除A、C外的兩點(diǎn)S、T關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．