Question

已知向量

m

=（sinωx，1），

n

=（4cos（ωx-

π

6

），cos2ωx）其中f（x）=

m

•

n

（ω＞0），函數(shù)最小正周期為π，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知b²=ac，且a²-c²=ac-bc，求的f（A）值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，根據(jù)最小正周期求出ω的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出遞增區(qū)間；
（2）將已知第一個等式代入第二個等式中得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，將得出的關(guān)系式代入求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，即可求出f（A）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinωx，1），

n

=（4cos（ωx-

π

6

），cos2ωx），
∴f（x）=

m

•

n

（ω＞0）=4sinωxcos（ωx-

π

6

）+cos2ωx=4sinωx（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）+cos2ωx=

3

sin2ωx+1-cos2ωx+cos2ωx=

3

sin2ωx+1，
∵函數(shù)最小正周期為π，∴ω=2，
∴f（x）=

3

sin4x+1，
令-

π

2

+2kπ≤4x≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得到-

π

8

+

kπ

2

≤x≤

π

8

+

kπ

2

（k∈Z），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

8

+

kπ

2

，

π

8

+

kπ

2

]（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，且a²-c²=ac-bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴A=

π

3

，
則f（A）=f（

π

3

）=

3

sin

4π

3

+1=-

3

×

3

2

+1=-

1

2

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．