Question

已知過點A（0，b），且斜率為1的直線l與圓O：x²+y²=16交于不同的兩點M、N．
（Ⅰ）求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）若|MN|=4

3

，求實數b的值；
（Ⅲ） 記集合A={（x，y）|x²+y²≤16}和集合B={（x，y）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為U，V，若在區(qū)域U內任取一點M（x，y），求點M落在區(qū)域V的概率．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,幾何概型

專題：直線與圓,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用圓心到直線的距離，小于半徑，即可求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）利用弦心距半徑半弦長滿足勾股定理，通過|MN|=4

3

，即可求實數b的值；
（Ⅲ） 求出集合A={（x，y）|x²+y²≤16}和集合B={（x，y）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為U，V，利用幾何概型直接求點M落在區(qū)域V的概率．

解答： 解：（ I）由已知，直線l的方程為：y=x+b，即x-y+b=0；
因為直線l與圓O：x²+y²=16交于不同的兩點M、N，
所以圓心O到直線l的距離d小于圓O的半徑，
即：

|b|

2

＜4，…（2分）
解得-4

2

＜b＜4

2

．…（4分）
（ II）由（I）得圓心O到直線l的距離d=

|b|

2

，
又弦|MN|=4

3

，圓O的半徑為4，∴(

|b|

2

)2+(2

3

)2=42，…（7分）
解得b=±2

2

．…（9分）
（III）依題意，試驗的全部結果構成的區(qū)域U是圓心在原點，半徑為4的圓，
記事件C為“點M落在區(qū)域V”，所構成的區(qū)域V是腰長為4的等腰直角三角形，
這是一個幾何概型，…（11分）
所以P（C）=

SV

SU

=

1 2 ×42

π×42

=

1

2π

，…（13分）
即在區(qū)域U內任取一點M，點M落在區(qū)域V的概率為

1

2π

．…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，幾何概型的應用，考查計算能力．