Question

已知函數(shù)f（x）=a1nx-ax-3（a≠0）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，那么實數(shù)m在什么范圍取值時，函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（2，3）內總存在極值？
（3）求證：

1n2

2

×

1n3

3

×

1n4

4

×

1n5

5

×

1nn

n

＜

1

n

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）在求單調區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；
（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f′（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)可知：g′（1）＜0，g′（2）＜0，g′（3）＞0，于是可求m的范圍．
（3）判斷l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，進而可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，即可證得結論．

解答： （1）解：f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
當a＞0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數(shù)．
（2）解：f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)，且g′（0）=-2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0  
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴存在-

37

3

＜m＜-9．
（3）證明：令a=-1此時f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，
∴

ln2

2

×

ln3

3

×…×

lnn

n

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

點評：本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調區(qū)間，與函數(shù)結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，對于函數(shù)取單調區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．