Question

（本題滿分12分）如圖，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ，，是線段上一點，.

（Ⅰ）當時，求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在點滿足平面？并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）二面角的正弦值為.（Ⅲ）不存在點滿足平面.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點，易得四邊形是平行四邊形，從而.由線面平行的判定定理可得平面.

（Ⅱ）因為平面平面，平面平面=，且，所以平面，以為原點，為軸，建立空間直角坐標系.利用空間向量可求出二面角的余弦值，從而求出二面角的正弦值.

（Ⅲ）利用向量可證明與不垂直，所以不存在點滿足平面.

試題解析：（Ⅰ）取中點，連接， 1分

又，所以.

因為，所以,

四邊形是平行四邊形， 2分

所以

因為平面，平面

所以平面. 4分

（Ⅱ）因為平面平面，平面平面=，

且，所以平面，所以， 5分

因為，所以平面.如圖，以為原點，建立空間直角坐標系.

則， 6分

是平面的一個法向量.

設(shè)平面的法向量，則

，即

令，則，所以,

所以， 8分

故二面角的正弦值為。 9分.

（Ⅲ）因為，所以與不垂直, 11分

所以不存在點滿足平面. 12分

考點：1、空間線面的位置關(guān)系；2、二面角.