Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E為BC中點(diǎn)．將△CDE沿DE折起至△PDE，使得平面PDE⊥平面ABED，M，N分別為DE，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥面APD；
（Ⅱ）求二面角D-NE-P的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AM，PM，由題意知AM，PM，EM兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，MA為x軸，ME為y軸，MP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥面APD．
（Ⅱ）分別求出平面DNE的法向量和平面NEP的法向量，利用同向量法能求出二面角D-NE-P的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AM，PM，由題意知AM，PM，EM兩兩垂直，
以M為原點(diǎn)，MA為x軸，ME為y軸，MP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知，M（0，0，0），P（0，0，

3

），
B（

3

，2，0），N（

3

2

，1，

3

2

），
D（0，-1，0），A（

3

，0，0），E（0，1，0），

MN

=(

3

2

，1，

3

2

)，

AD

=(-

3

，-1，0)，

AP

=(-

3

，0，

3

)，
設(shè)平面APD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AD =- 3 x-y=0 n • AP =- 3 x+ 3 z=0

，取x=

3

，得

n

=(

3

，-3，

3

)，
∵

MN

•

n

=

3

2

×

3

-3+

3

2

×

3

=0，
∵M(jìn)N不包含于面APD，∴MN∥面APD．
（Ⅱ）解：

EN

=(

3

2

，0，

3

2

)，

DN

=(

3

2

，2，

3

2

)，

EP

=(0，-1，

3

)，
設(shè)平面DNE的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

3 2 x1+ 3 2 z1=0 3 2 x1+2y1+ 3 2 z1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，0，-1)，
設(shè)平面NEP的法向量

p

=(x2，y2，z2)，
則

3 2 x2+ 3 2 z2=0 -y2+ 3 z2=0

，取x₂=

3

，得

p

=(

3

，-3，-

3

)，
設(shè)二面角D-NE-P的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

3 +0+ 3

2 • 15

|=

10

5

．
∴二面角D-NE-P的余弦值為

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．