Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[-

π

4

，

π

4

]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，易得周期，解2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]可得sin（2x+

π

6

）的范圍，進(jìn)而可定的f（x）的值域，即m+2的范圍，可得答案．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=2cos²x+

3

sin 2x
=1+cos2 x+

3

sin 2x=1+2（

1

2

cos 2x+

3

sin 2x）
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

，（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）的值域?yàn)閇1-

3

，3]
∵f（x）=m+2，∴m+2∈[1-

3

，3]，
即m∈[-1-

3

，1]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及和差角公式和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．