Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=

x2-a

x

，由f（x）在x=2處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，則f′（2）=

3

2

，a=1，此時f（x）=

1

2

x²-lnx，f′（x）=

x2-1

x

，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f′（x）=

x2-a

x

，a＞0及定義域為（0，+∞），令f′（x）=0，得x=

a

，討論①若0＜

a

≤1，②若1＜

a

＜e，③若

a

≥e從而綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

x2-a

x

，
由f（x）在x=2處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，則f′（2）=

3

2

，a=1，
此時f（x）=

1

2

x²-lnx，f′（x）=

x2-1

x

，
令f′（x）=0得x=1，
f′（x），f（x）的情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

所以f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．      
（Ⅱ）由f′（x）=

x2-a

x

，a＞0及定義域為（0，+∞），
令f′（x）=0，得x=

a

．
①若0＜

a

≤1，即0＜a≤1時，在[1，e]上，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）_max=f（e）=

e2

2

-a，
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²在（1，

a

）上，
f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；在（

a

，e）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
因此在[1，e]上，f（x）_max=max{f（1），f（e）}，
f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

-a，令

1

2

=

e2

2

-a，解得a=

e2-1

2

，
當(dāng)1＜a＜

e2-1

2

時，

e2

2

-a＞

1

2

，所以f（x）_max=

e2

2

-a；
當(dāng)

e2-1

2

≤a＜e²時，

1

2

＞

e2

2

-a，所以f（x）_max=f（1）=

1

2

．          
③若

a

≥e，即a≥e²時，在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（1）=

1

2

，
綜上，當(dāng)0＜a＜

e2-1

2

時f（x）_max=

e2

2

-a；當(dāng)a≥

e2-1

2

時，f（x）_max=

1

2

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．