Question

已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

Answer 1

見(jiàn)解析

本試題主要考查了二次方程根的問(wèn)題的綜合運(yùn)用。運(yùn)用反證法思想進(jìn)行證明。
先反設(shè)，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，
則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0
相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，
（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.顯然不成立。
證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，
則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.
相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，
（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.                                     ①
由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.