Question

【題目】如圖，在三棱錐C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2 ，D為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)E滿(mǎn)足CE∥平面AOB，問(wèn)：當(dāng)AE=BE時(shí)，平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值？若是，求出該銳二面角的余弦值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在三棱錐C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，

∴CO⊥AB．

又OA=OB，D為AB的中點(diǎn)，

∴DO⊥AB

∵DO∩CO=O，

∴AB⊥平面COD．

（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2 ，

∴AO⊥BO．

由CO⊥平面AOB，故以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．

由CE∥平面AOB，故設(shè)E（x，y，1）．

由AE=BE，得 ，

故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．

設(shè)平面ACE的法向量為 ，由 ， =（x，y，0），

得 ，令a=1，得 =（1，﹣1，2）．

又平面AOB的法向量為

∴cos＜ ＞= = ．

故平面ACE與平面AOB所成的銳二面角為定值，且該銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能證明AB⊥平面COD．（Ⅱ）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ACE與平面AOB所成的銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．