Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA1=2AB，E、F、M分別為CC₁、BC、A₁D₁中點(diǎn)．
（1）求證：AE∥面BC₁M；
（2）求二面角F-ED-A的余弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）通過(guò)證明面AEF∥面BC₁M來(lái)證明AE∥面BC₁M；
（2）分別取AE，ED中點(diǎn)O，O′．先根據(jù)條件得到四邊形FCO′O為平行四邊形，進(jìn)而得FO∥CO′；再通過(guò)CO′⊥面AED得到∠OO′F為二面角F-ED-A平面角，最后通過(guò)求三角形的邊長(zhǎng)求出角的函數(shù)值即可．
法二：（1）轉(zhuǎn)化為證明平面BC₁M的法向量

a

與

AE

的數(shù)量積為0；
（2）分別求出兩個(gè)半平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可．

解答：法一：（1）證：E，F(xiàn)為CC₁，BC中點(diǎn)⇒EF∥BC₁⇒EF∥面BC₁M
F，M為BC，A₁D₁中點(diǎn)⇒AF∥C₁M⇒AF∥面BC₁M
⇒面AEF∥面BC₁M⇒AE∥面BC₁M
（2）分別取AE，ED中點(diǎn)O，O′．連接FO，CO′，OO′，則OO′∥

1

2

AD∥FC
∴平行四邊形FCO′O
∴FO∥CO′
∵EC=CE
∴CO′⊥ED⇒CO′⊥面AED
AD⊥面CD D₁C₁⇒AD⊥CO′⇒FO⊥面AED
∵OO′⊥ED．
連接O′F．則O′F⊥ED
∴∠OO′F為二面角F-ED-A平面角，
不妨設(shè)AB=1  AA′=2
在Rt△FOO′中，OO′=

1

2

AD=

1

2

，AF=AE=

5

2

，
AE=

3

∴FO=

2

2

∴tan∠OO′F=

FO

OO′

=

2

∠OO′F=arctan

2

∴二面角為arctan

2

．
法二：建立如圖坐標(biāo)系，不妨設(shè)AA₁=2AB=4．則

AE

=（2，2，2）
（1）設(shè)平面BC₁M的法向量為

a

，則：

BC1 • a =0 C1M  • a =0

⇒

a

=（2，-1，-1）
∵

AB

•

a

=0∴

AE

⊥

a

∴

AE

∥面BC₁M
（2）同理，可解得面ADE的法向量=（0，1，-1）面FED的法向量=（-2，-1，1）
∴cos（

C

•

a

=

c • d

| c | | d |

=

-2

2 • 6

=-

3

3

顯然二面角F-ED-A為銳二面角
∴二面角F-ED-A為arccos

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二面角的平面角及求法．解決這類問(wèn)題用空間向量的做法的關(guān)鍵是求出兩個(gè)半平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式．