Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面積為

2

2

．
（1）A₁C與底面ABCD所成角的大��；
（2）若AC與BD的交點(diǎn)為M，點(diǎn)T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接EM，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知A₁C∥EM，易知∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角，在△A₁CA中，求出此角即可；
（2）建立直角坐標(biāo)系D-xyz則求出E，B，M的坐標(biāo)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1，z），根據(jù)BE⊥MT則

EE

•

MT

=0求出z，根據(jù)向量的模就是線段的長(zhǎng)即可求出MT的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖所示，連接EM因?yàn)锳₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，
所以A₁C∥EM；又M為AC的中點(diǎn)，故E為AA₁的中點(diǎn)
∴S△EBD=

1

2

×

2

•ME=

2

2

則ME=1
∵AA₁⊥底面ABCD∴∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角
在△A₁CA中，A₁C=2EM=2
cos∠A₁CA=

2

2

∴A₁C與底面ABCD所成角的大小45°
（2）如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz則E（1，0，

2

2

），B（1，1，0），M（

1

2

，

1

2

，0）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1，z）
故

BE

=（0，-1，

2

2

），

MT

=（-

1

2

，

1

2

，z）
∵BE⊥MT∴

EE

•

MT

=0
∴-

1

2

+

2

2

z=0
∴z=

2

2

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，1，

2

2

）

MT

=（-

1

2

，

1

2

，

2

2

）∴|

MT

|=1
故MT=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，直線與平面所成的角，線段長(zhǎng)的度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力．