Question

【題目】數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．

Answer 1

【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.

當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.

由此猜想(n∈N*)．

(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立．

②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即，

那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)時(shí)，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak

＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝.

∴ak＋1＝，由①②可知，對(duì)n∈N*，都成立．