【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程，并證明對任意，切線經(jīng)過定點；

（Ⅱ）證明：時，有兩個零點、，且．

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，再根據(jù)方程判斷切線經(jīng)過的定點．（Ⅱ）由題意得函數(shù)在上都為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得在上有一個零點．由于，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)論成立．

試題解析：

（Ⅰ）由條件得，

∴，

又，

∴所求的切線方程為，

即．

將切線方程變形為，

令時，可得，

故切線過定點．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，，

∴函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)都單調(diào)遞增．

又時，，

若且，則，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個零點，從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點．

當(dāng)且時，，

當(dāng)且時，，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個零點，從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點．

∵，

∴，

∴

，

∴，

∵在區(qū)間單調(diào)遞增，

∴，故得．

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知橢圓 上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值是最小值的倍，且點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點任作一條直線，與橢圓交于不同于點的、兩點，與直線交于點，記直線、、的斜率分別為、、.試探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

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【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為菱形， ， ， 為棱的中點，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

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(1)求出曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

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【題目】在平面直角坐標系中，已知點，，動點不在軸上，直線、的斜率之積．

（Ⅰ）求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）經(jīng)過點的兩直線與動點的軌跡分別相交于、兩點。是否存在常數(shù)，使得任意滿足的直線恒過線段的中點？請說明理由．

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【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.

(1)求動點A的軌跡M的方程;

(2)P為軌跡M上的動點,△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點P在軌跡M上運動時,求點O1到x軸的距離的最小值.

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【題目】已知函數(shù)（其中,且為常數(shù)）.

(1)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，若方程在上有且只有一個實根，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

（3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若且，求證： .

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