Question

【題目】已知焦距為2的橢圓W： =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為A1 ， A2 ， 上、下頂點(diǎn)分別為B1 ， B2 ， 點(diǎn)M（x0 ， y0）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線(xiàn)MA1 ， MA2 ， MB1 ， MB2的斜率之積為 ．

（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖所示，點(diǎn)A，D是橢圓W上兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，AD⊥AB，點(diǎn)C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：2c=2，c=1，a2﹣b2=1，

∵M(jìn)（x0，y0）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，

∴ ， = （a2﹣ ）， = （b2﹣ ），

= = ，

= =（ ）2= ，則a2=2b2，

∴a2=2，b2=1，

∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）

解：證明：不妨設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐標(biāo)（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），

∵A，D在橢圓上， ，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴ =﹣ ，

由AD⊥AB，

∴kADkAB=﹣1， =﹣1， （﹣ ，）=﹣1，

∴ = ，

∴kBD﹣kBC= ﹣ = ﹣ =0，

kBD=kBC，

∴B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)

【解析】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四條直線(xiàn)的斜率，由斜率乘積為 ，代入求得a和b的關(guān)系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A，D的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差法，求得直線(xiàn)AD的斜率，由kADkAB=﹣1，代入求得 = ，由kBD﹣kBC=0，即可求證kBD=kBC ， 即可求證B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)．