【題目】已知直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)P（3，1）到直線l的距離的最大值；
（3）若直線l分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．

【答案】
（1）證明：直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．

化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解得 ，

則直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）


（2）解：當(dāng)m變化時(shí)，PQ⊥直線l時(shí)，

點(diǎn)P（3，1）到直線l的距離的最大= =5


（3）解：由于直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．直線l的斜率k存在且k≠0，

因此可設(shè)直線l的方程為y+2=k（x+1），

可得與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A（ ，0），B（0，k﹣2）兩點(diǎn)，

＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．

∴∴S△OAB= × ×（2﹣k）= ≥2+ =4，當(dāng)且僅當(dāng)k=﹣2時(shí)取等號(hào)．

此時(shí)直線l的方程為：y+2=﹣2（x+1），化為：2x+y+4=0


【解析】（1）直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解出即可得出直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．（2）當(dāng)m變化時(shí)，PQ⊥直線l時(shí)，點(diǎn)P（3，1）到直線l的距離的最大．（3）由于直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．直線l的斜率k存在且k≠0，因此可設(shè)直線l的方程為y+2=k（x+1），可得與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A（ ，0），B（0，k﹣2）兩點(diǎn)， ＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB= × ×（2﹣k）= ，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

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