已知平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，點E、F分別在線段AB、CD上，且．求證：EF∥β．

答案：
解析：

題目未給出圖形，須我們自己畫出，考慮到A、C、B、D四點是否共面題中未說，故應(yīng)分兩種情況．

當(dāng)AB、CD在同一個平面內(nèi)時，由α∥β得AC∥BD．

∴四邊形ABCD是梯形或平行四邊形．

∵，∴EF∥BD．

又BDβ，∴EF∥β．

當(dāng)AB、CD是異面直線時，參看圖，顯然，EF既不平行于BD也不平行于AC，故需另外構(gòu)作線或面，從什么地方入手呢?

一種自然的想法是利用面面平行的性質(zhì)，這就須有與平面α、β相交的平面出現(xiàn)．由點E和直線CD能確定一個平面，該平面與α、β均相交，在該平面內(nèi)過E作CD的平行線分別交α、β于M、N兩點．連AM、CM、BN、DN．易有AM∥BN，CM∥DN

由AM∥BN有，從而在四邊形MNDC中有，故EF∥CM∥DN．從而EF∥β．

另一種想法是構(gòu)作出過EF且平行α、β的平面，連結(jié)AD，過F作FG∥AC，交AD于G，再連EG．由FG∥AC知，又，所以，從而GE∥β．接下來可證EF所在的平面EFG與平面β平行，得EF∥β．另外，還可以這樣做：作AH∥CD，交β于H，則AHDC是平行四邊形，作FG∥DH交AH于G，連結(jié)EG去證．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•石景山區(qū)一模）如圖，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個點，C、D在平面β內(nèi)，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB面積的最大值是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面上四點A，B，C滿足(
BC
+
BA
)•
AC
=0，則△ABC的形狀是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)兩點A（-4，1），B（-3，-1），直線y=kx+2與線段AB恒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是
[
1
4
 ， 1]
[
1
4
 ， 1]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•孝感模擬）下列命題中正確命題的個數(shù)是（　�。�
①過空間任意一點有且僅有一個平面與已知平面垂直；
②過空間任意一條直線有且僅有一個平面與已知平面垂直；
③過空間任意一點有且僅有一個平面與已知的兩條異面直線平行；
④過空間任意一點有且僅有一條直線與已知平面垂直．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)點A，B，O不共線，
AP
=λ
OA
+μ
OB
，則A，P，B三點共線的必要不充分條件是（　�。�
A、λ=μB、|λ|=|μ|
C、λ=-μD、λ=1-μ

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案