Question

某校舉辦一場(chǎng)籃球投籃選拔比賽，比賽的規(guī)則如下：每個(gè)選手先后在二分區(qū)、三分區(qū)和中場(chǎng)跳球區(qū)三個(gè)位置各投一球，只有當(dāng)前一次球投進(jìn)后才能投下一次，三次全投進(jìn)就算勝出，否則即被淘汰．已知某選手在二分區(qū)投中球的概率為

4

5

，在三分區(qū)投中球的概率為

3

5

，在中場(chǎng)跳球區(qū)投中球的概率為

2

5

，且在各位置投球是否投進(jìn)互不影響．
（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率；
（Ⅱ）該選手在比賽中投球的個(gè)數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“該選手能投進(jìn)第i個(gè)球”的事件為A_i（i=1，2，3），則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，由此能求了該選手被淘汰的概率．
（Ⅱ）ξ的可能值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）記“該選手能投進(jìn)第i個(gè)球”的事件為A_i（i=1，2，3），
則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

，
∴該選手被淘汰的概率
P=P（

.

A1

+A1

.

A2

+A1A2

.

A3

）
=

1

5

+

4

5

×

2

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

=

101

125

．
（Ⅱ）ξ的可能值為1，2，3，
P（ξ=1）=P（

.

A1

）=

1

5

，
P（ξ=2）=P（A1

.

A2

）=

4

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=3）=P（A₁A₂）=

4

5

×

3

5

=

12

25

．
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	8 25	12 25

∴Eξ=1×

1

5

+2×

8

25

+3×

12

25

=

57

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期限，是中檔題，在歷年高考中考都是必考題型．