Question

已知圓C：x²+y²=1，直線l：y-kx-1=0
（1）k=1時(shí)判斷圓C和直線的位置關(guān)系．
（2）若圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到l的距離為

1

2

，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）k=1時(shí)，直線l：y-x-1=0，求出圓C：x²+y²=1的圓心C和半徑，利用圓心C到直線y-x-1=0的距離與圓的半徑的大小關(guān)系能判斷圓C和直線l的位置關(guān)系．
（2）由圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到l的距離為

1

2

，得到圓心C（0，0）到直線l：y-kx-1=0的距離為

1

2

，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）k=1時(shí)，直線l：y-x-1=0，
圓C：x²+y²=1的圓心C（0，0），半徑r=1，
圓心C（0，0）到直線y-x-1=0的距離：
d=

|-1|

2

=

2

2

＜r=1，
∴k=1時(shí)圓C和直線相交．
（2）∵圓C：x²+y²=1，直線l：y-kx-1=0，
圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到l的距離為

1

2

，
∴圓心C（0，0）到直線l：y-kx-1=0的距離為

1

2

，
∴

|-1|

1+k2

=

1

2

，
解得k=±

3

．
∴k=±

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．