設(shè)集合Z劃分為兩兩不相交的子集A1，A2，…，An，又劃分為兩兩不相交的子集B1，B2，…，Bn．已知任意兩個不相交子集Ai與Bj的并集Ai∪Bj至少含有n個元素，1≤i，j≤n．求證：集合Z中的元素個數(shù)至少為
n2
2
，它能否等于
n2
2
？
考點：元素與集合關(guān)系的判斷
專題：集合
分析：若設(shè)子集Ai最少含有nA個元素，則集合Z中每個子集都含nA個元素時，集合Z所含元素最少，最少為n•nA個元素；同理，若設(shè)子集Bj最少含nB個元素，則集合Z最少含n•nB個元素，所以集合Z最少含有元素：
n•nA+n•nB
2
=
n2
2
個．并且能取到
n2
2
，這時任意子集Ai含有相同的元素，這就需要集合Z含有的元素個數(shù)能夠被n整除．
解答： 解：設(shè)集合Ai至少含nA個元素，集合Bj至少含nB個元素，集合Z至少含有m個元素，則：nA+nB=n；
∴m=
n•nA+n•nB
2
=
n2
2
，即集合Z中的元素至少為
n2
2
，并且當m被n整除時，它能等于
n2
2
．
點評：只要讀懂題意，這道題是不難做的，這需要理解并集的概念，交集的概念，并且弄清怎樣讓集合Z含有的元素最少．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，點E是SD的中點．
（Ⅰ）試建立適當?shù)淖鴺讼担徊懗鳇cA，C，E，B的坐標．
（Ⅱ）求異面直線AC與BE夾角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差數(shù)列，a2，b2，a3+2成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若Sn+an＞m對任意的正整數(shù)n恒成立，求常數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且滿足a2-2bccosA=（b+c）2
（1）求∠A的大��；
（2）若a=3，求△ABC周長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底ABCD為正方形M、N分別
為SB、SD的中點．求證：
（1）MN∥平面ABCD；
（2）CB⊥平面SAB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校舉辦一場籃球投籃選拔比賽，比賽的規(guī)則如下：每個選手先后在二分區(qū)、三分區(qū)和中場跳球區(qū)三個位置各投一球，只有當前一次球投進后才能投下一次，三次全投進就算勝出，否則即被淘汰．已知某選手在二分區(qū)投中球的概率為
4
5
，在三分區(qū)投中球的概率為
3
5
，在中場跳球區(qū)投中球的概率為
2
5
，且在各位置投球是否投進互不影響．
（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率；
（Ⅱ）該選手在比賽中投球的個數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ．（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}定義如下：a1=1，對于每個n∈N*，a4n-3，a4n-2，a4n-1構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，而a4n-1，a4n，a4n+1構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列．
（1）求a2，a6的值以及a4n-2（n∈N*）的通項公式；
（2）若bn=（a1+a2+a3）+（a5+a6+a7）+…+（a4n-3+a4n-2+a4n-1），在數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項，使得此三項能成為某三角形的三條邊長？若能，求出這三項；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=
3
，D是AC的中點，點E在AB上，AB=3AE．
（Ⅰ）求證：AO⊥DE；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

畫出如圖所示程序相應(yīng)的程序框圖．

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同步練習冊答案